Question

抛物线x²=4y的焦点为F，过点（0，-1）作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型．

Answer 1

分析：设直线：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），求出F的坐标，利用AB和RF是平行四边形的对角线，对角线的中点坐标重合，直线与抛物线有两个交点，推出k的范围，整理出R的轨迹方程即可．

解答：解：设直线：AB：y=kx-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），由题意F（0，1）．
由 y=kx-1，x²=4y，
可得x²=4kx-4．
∴x₁+x₂=4k．
∵AB和RF是平行四边形的对角线，
∴x₁+x₂=x，y₁+y₂=y+1．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=4k²-2，
∴x=4k y=4k²-3，消去k，可得得x²=4（y+3）．
又∵直线和抛物线交于不同两点，
∴△=16k²-16＞0，
|k|＞1
∴|x|＞4
所以x²=4（y+3），（|x|＞4）

点评：本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意挖掘题目的条件，推出直线的斜率的范围（这是容易疏忽的地方），平行四边形的对角线的交点的特征，是解题的关键．