Question

（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数，其中常数a > 0．
(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；
(2) 求函数f(x)的最小值．

Answer 1

（1）任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=，
因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)；
（2）。

解析试题分析：(1) 当时，，…………………………………………1分
任取0<x₁<x₂≤2，则f(x₁)–f(x₂)=………………3分
因为0<x₁<x₂≤2，所以f(x₁)–f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)………………………………………5分
所以函数f(x)在上是减函数；………………………………………………………6分
(2)，……………………………………………………7分
当且仅当时等号成立，…………………………………………………………8分
当，即时，的最小值为，………………………10分
当，即时，在上单调递减，…………………………………11分
所以当时，取得最小值为，………………………………………………13分
综上所述： ………………………………………14分
考点：函数的单调性和最值；基本不等式。
点评：用定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论，其中最重要的是四变形，最好变成几个因式乘积的形式，这样便于判断符号。