题目内容

6.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同,且椭圆C上一点与椭圆C的左右焦点F1,F2构成三角形的周长为2$\sqrt{2}$+2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,△AOB的重心G满足:$\overrightarrow{{F_1}G}$•$\overrightarrow{{F_2}G}$=-$\frac{5}{9}$,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出抛物线的焦点,结合三角形的周长求出a,b,即可求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设出直线方程,联系直线和椭圆,利用根与系数之间的关系进行求解即可.

解答 解:(Ⅰ)依题意得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ 2a+2c=2\sqrt{2}+2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$
所以椭圆C的方程$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$….(5分)
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+2{y^2}-2=0\end{array}\right.⇒(1+2{k^2}){x^2}+4kmx+2{m^2}-2=0$,
$\left\{\begin{array}{l}△>0⇒1+2{k^2}>m(*)\\{x_1}+{x_2}=\frac{-4km}{{1+2{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}\end{array}\right.$①,设△AOB的重心G(x,y),
由$\overrightarrow{{F_1}G}•\overrightarrow{{F_2}G}=-\frac{5}{9}$可得${x^2}+{y^2}=\frac{4}{9}$②
由重心公式可得$G(\frac{{{x_1}+{x_2}}}{3},\frac{{{y_1}+{y_2}}}{3})$代入②式
整理可得${({x_1}+{x_2})^2}+{({y_1}+{y_2})^2}=4⇒{({x_1}+{x_2})^2}+{[k({x_1}+{x_2})+2m]^2}=4$③
①式带入③式并整理得${m^2}=\frac{{{{(1+2{k^2})}^2}}}{{1+4{k^2}}}$带入(*)得k≠0.
则${m^2}=\frac{{{{(1+2{k^2})}^2}}}{{1+4{k^2}}}=1+\frac{{4{k^4}}}{{1+4{k^2}}}=1+\frac{4}{{\frac{4}{k^2}+\frac{1}{k^4}}}$,
∵$k≠0∴t=\frac{1}{k^2}>0∴{t^2}+4t>0∴{m^2}>1∴m∈(-∞,-1)∪(1,+∞)$….(12分)

点评 本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用,利用消元法转化为一元二次方程形式是解决本题的关键.

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