Question

已知圆 C方程为.
（1）若圆C与直线相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（2）在（1）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

Answer 1

（1）m=.（2）x²+y²-x-y=0.

（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）,然后根据OM⊥ON可得x₁x₂+y₁y₂=0,
所以,然后直线x+2y-4=0与圆方程联立，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理代入上式即可得到关于m的方程，求出m的值.
(2)因为以MN为直径的圆的方程为（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0    
即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0，然后将（1）中x₁+x₂,y₁+y₂的值代入即可.
（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁=4-2y₁，x₂=4-2y₂，则x₁x₂=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂
∵OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0     ∴16-8（y₁+y₂）+5y₁y₂=0        ①
由  得5y²-16y+m+8=0
∴y₁+y₂=,y₁y₂=,代入①得，m=.
（2）以MN为直径的圆的方程为
（x-x₁）(x-x₂)+(y-y₁)(y-y₂)=0     即x²+y²-(x₁+x₂)x-(y₁+y₂)y=0
∴所求圆的方程为x²+y²-x-y=0.