Question

已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
(3)求z＝x²＋y²的取值范围．

Answer 1

（1）z_max＝2×5－3＝7，z_min＝2×1－＝－.
（2）a＝.
（3）[，34]

解：(1)作出不等式组表示的可行域如图：

作直线l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，
解，得A(1，)．
解，得B(5,3)．
解，得C(1，)．
∴z_max＝2×5－3＝7，z_min＝2×1－＝－.
(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．
又k_BC＝－，∴－a＝－，∴a＝.
(3)z＝x²＋y²，则为(x，y)与原点(0,0)的距离，结合不等式的区域，易知A点到原点距离最小为，最大值为|OB|、|OC|、原点O到直线3x＋5y＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OB|＝.故z＝x²＋y²的取值范围是[，34]．