题目内容
在数列{an}中，已知a1=-1，an+1=2an-n+1，（n=1，2，3，…）．（1）证明数列{an-n}是等比数列；
（2）bn=
| an | 2n |
分析：（I）此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n）即可；
（II）由（I）结论可求出bn，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．
（II）由（I）结论可求出bn，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．
解答：解：∵an+1=2an-n+1，∴an+1-（n+1）=2（an-n）
∴
=2，a1-1=-2
∴数列{an-n}是以-2为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）得：an-n=（-2）×2n-1=-2n，∴an=n-2n，bn=
=
-1
∴Sn=b1+b2+…+bn=(
-1) +(
-1) +…+(
-1)=(
+
+…+
) -n
令Tn=
+
+
+…
，则
Tn=
+
+…+
+
，
两式相减得：
Tn=
+
+
+…+
-
=1-
-
∴Tn=2-
，即Sn═2-
-n （12分）
∴
| an+1-(n+1) |
| an-n |
∴数列{an-n}是以-2为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）得：an-n=（-2）×2n-1=-2n，∴an=n-2n，bn=
| an |
| 2n |
| n |
| 2n |
∴Sn=b1+b2+…+bn=(
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| n |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| n |
| 2n |
令Tn=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| n |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 2 |
| 23 |
| n-1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
两式相减得：
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2n |
| n |
| 2n+1 |
∴Tn=2-
| n+2 |
| 2n |
| n+2 |
| 2n |
点评：本题是一道综合性较强的题，要观察分析，判断，选择合适的方法，如（I）的求解要从证明的结论中找变形方向；（II）中的求解要边变形边观察，化整为零，分块求解，这对答题者分析判断的能力要求较高
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