分析:(I)此证明题应从结论中找方法,要证明数列{an-n}是等比数列,将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-(n+1)=2(an-n)即可;
(II)由(I)结论可求出bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧,然后对其一部分用错位减法求和.最后将结果综合起来.
解答:解:∵a
n+1=2a
n-n+1,∴a
n+1-(n+1)=2(a
n-n)
∴
=2,a
1-1=-2
∴数列{a
n-n}是以-2为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)得:a
n-n=(-2)×2
n-1=-2
n,∴a
n=n-2
n,b
n=
=-1∴Sn=b
1+b
2+…+b
n=
(-1) +(-1) +…+(-1)=
(++…+) -n令Tn=
+++…,则
Tn=
++…++,
两式相减得:
Tn=
+++…+-=
1--∴T
n=
2-,即S
n═
2--n (12分)
点评:本题是一道综合性较强的题,要观察分析,判断,选择合适的方法,如(I)的求解要从证明的结论中找变形方向;(II)中的求解要边变形边观察,化整为零,分块求解,这对答题者分析判断的能力要求较高