题目内容
在数列{an}中,已知a1=-1,an+1=2an-n+1,(n=1,2,3,…).(1)证明数列{an-n}是等比数列;
(2)bn=
an | 2n |
分析:(I)此证明题应从结论中找方法,要证明数列{an-n}是等比数列,将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-(n+1)=2(an-n)即可;
(II)由(I)结论可求出bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧,然后对其一部分用错位减法求和.最后将结果综合起来.
(II)由(I)结论可求出bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧,然后对其一部分用错位减法求和.最后将结果综合起来.
解答:解:∵an+1=2an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n)
∴
=2,a1-1=-2
∴数列{an-n}是以-2为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)得:an-n=(-2)×2n-1=-2n,∴an=n-2n,bn=
=
-1
∴Sn=b1+b2+…+bn=(
-1) +(
-1) +…+(
-1)=(
+
+…+
) -n
令Tn=
+
+
+…
,则
Tn=
+
+…+
+
,
两式相减得:
Tn=
+
+
+…+
-
=1-
-
∴Tn=2-
,即Sn═2-
-n (12分)
∴
an+1-(n+1) |
an-n |
∴数列{an-n}是以-2为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)得:an-n=(-2)×2n-1=-2n,∴an=n-2n,bn=
an |
2n |
n |
2n |
∴Sn=b1+b2+…+bn=(
1 |
2 |
2 |
22 |
n |
2n |
1 |
2 |
2 |
22 |
n |
2n |
令Tn=
1 |
2 |
2 |
22 |
3 |
23 |
n |
2n |
1 |
2 |
1 |
22 |
2 |
23 |
n-1 |
2n |
n |
2n+1 |
两式相减得:
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
23 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
∴Tn=2-
n+2 |
2n |
n+2 |
2n |
点评:本题是一道综合性较强的题,要观察分析,判断,选择合适的方法,如(I)的求解要从证明的结论中找变形方向;(II)中的求解要边变形边观察,化整为零,分块求解,这对答题者分析判断的能力要求较高

练习册系列答案
相关题目