题目内容

在数列{an}中,已知a1=-1,an+1=2an-n+1,(n=1,2,3,…).
(1)证明数列{an-n}是等比数列;
(2)bn=
an2n
Sn
为数列{bn}的前n项和,求Sn的表达式.
分析:(I)此证明题应从结论中找方法,要证明数列{an-n}是等比数列,将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-(n+1)=2(an-n)即可;
(II)由(I)结论可求出bn,由通项公式的形式可以看出,本题宜先用分组求和的技巧,然后对其一部分用错位减法求和.最后将结果综合起来.
解答:解:∵an+1=2an-n+1,∴an+1-(n+1)=2(an-n)
an+1-(n+1)
an-n
=2,a1-1=-2
∴数列{an-n}是以-2为首项,2为公比的等比数列.(6分)
(2)由(1)得:an-n=(-2)×2n-1=-2n,∴an=n-2n,bn=
an
2n
=
n
2n
-1

∴Sn=b1+b2+…+bn=(
1
2
-1) +(
2
22
-1) +…+(
n
2n
-1)
=(
1
2
+
2
22
+…+
n
2n
) -n

令Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…
n
2n
,则
1
2
Tn=
1
22
+
2
23
+…+
n-1
2n
+
n
2n+1


两式相减得:
1
2
Tn=
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=1-
1
2n
-
n
2n+1


∴Tn=2-
n+2
2n
,即Sn2-
n+2
2n
-n    (12分)
点评:本题是一道综合性较强的题,要观察分析,判断,选择合适的方法,如(I)的求解要从证明的结论中找变形方向;(II)中的求解要边变形边观察,化整为零,分块求解,这对答题者分析判断的能力要求较高
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