Question

18．（1）已知x＜0，求函数$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}$的最大值
（2）设x＞-1，求函数$y=\frac{{（{x+5}）（{x+2}）}}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意整体变形，凑出可用基本不等式的形式，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＜0，∴$y=\frac{{{x^2}+x+1}}{x}=x+\frac{1}{x}+1=-（-x-\frac{1}{x}）+1≤-2\sqrt{（-x）×（-\frac{1}{x}）}+1=-1$，
当且仅当-x=$\frac{1}{-x}$即x=-1时取得等号，∴函数的最大值为-1；
（2）∵x＞-1，∴x+1＞0，∴$\begin{array}{l}y=\frac{{（{x+5}）（{x+2}）}}{x+1}=\frac{{[{（{x+1}）+4}][{（{x+1}）+1}]}}{x+1}=\frac{{{{（{x+1}）}^2}+5（{x+1}）+4}}{x+1}=（{x+1}）+\frac{4}{x+1}+5≥2\sqrt{4}+5=9\end{array}$，
当且仅当x+1=$\frac{4}{x+1}$即x=1时，上式取“=”，∴y最小值为9．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．