题目内容

4.下列命题正确的是(  )
 ①函数y=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1的一个对称中心是($\frac{π}{12}$,0);
②从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球,则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件;
③将f(x)=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度,即得到函数y=sin2x的图象;
④若函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方,则实数k的取值范围是[1,19)
A.①③B.①④C.②④D.③④

分析 利用函数的对称中心判断①的正误;互斥事件与对立事件判断②的正误;三角函数的图象的平移变换判断③的正误;利用判别式求解K的范围判断④的正误;

解答 解:对于①,函数y=sin(2x-$\frac{π}{6}$)+1的一个对称中心是($\frac{π}{12}$,0);不正确;一个对称中心应该为:($\frac{π}{12}$,1);
对于②,从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球,则事件“至少有1个红球”和事件“全是白球”是互斥而不对立的两个事件;
“至少有1个红球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,即事件A与事件B为互斥事件,至少有1个红球包含一个红球一个白球和两个红球,与恰有2个白球是对立事件;故②不正确.
对于③,将f(x)=sin(2x+$\frac{π}{4}$)的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位长度,即得到函数y=sin(2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$)=sin2x的图象;所以③正确;
④若函数y=(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3的图象都在x轴上方,可得16(1-k)2-4(k2+4k-5)×3≤0并且k2+4k-5>0,解得k∈[1,19),实数k的取值范围是[1,19),所以④正确;
故选:D.

点评 本题考查命题的真假的判断,考查互斥事件与对立事件,三角函数的图象的平移,函数的对称性以及二次函数的性质的应用,是中档题.

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