Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n=23n-n²，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式、等差数列的定义及其通项公式即可得出；
（2）由a_n≥0，解得n≤12．因此当n≤12时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n，当n≥13时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=2S₁₂-S_n．

解答 （1）证明：当n=1时，a₁=S₁=23-1=22，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（23n-n²）-[23（n-1）-（n-1）²]
=24-2n，
当n=1时上式也成立，
∴a_n=24-2n．
上式满足等差数列的通项公式，
因此数列{a_n}是等差数列；
（2）解：由a_n≥0，解得n≤12．
因此当n≤12时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=S_n=23n-n²．
当n≥13时，数列{|a_n|}的前n项和T_n=2S₁₂-S_n=2×（23×12-12²）-（23n-n²）=n²-23n+264．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{23n-{n}^{2}，n≤12}\\{{n}^{2}-23n+264，n≥13}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．