Question

已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：
（1）f(x)为奇函数；
（2）f(x)在(－1，1)上单调递减.

Answer 1

见解析

【错解分析】本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定的范围是解题的焦点.
【正解】(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.
∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.
令0<x₁<x₂<1,则f(x₂)－f(x₁)=f(x₂)＋f(－x₁)=f()
∵0<x₁<x₂<1,∴x₂－x₁>0,1－x₁x₂>0，
∴>0,又(x₂－x₁)－(1－x₂x₁)=(x₂－1)(x₁+1)<0
∴x₂－x₁<1－x₂x₁,∴0<<1,
由题意知f()<0，即f(x₂)<f(x₁).
∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上为减函数.
【点评】对于抽象函数函数性质的讨论、计算和证明，解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的