题目内容

已知复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．
（1）当z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根时，求m、n的值．
（2）求|z1•
.
z2
|的值域．
分析：（1）由于z1，z2是方程3x2-2x+c=0的两个复数根故z1=
.
z2
，求出θ，再根据根与系数的关系可求出m，n．
（2）直接求出|z1•
.
z2
|的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可．
解答：解：（1）复数z1=2cosθ+isinθ，z2=1-isinθ，
z1，z2是实系数一元二次方程x2+mx+n=0的两个虚根，
所以z1=
.
z2
，即2cosθ+isinθ=1+isinθ，所以
2cosθ=1
sinθ=sinθ
，所以cosθ=
1
2
．
m=-z1-z2=-（z1+z2）=-2cosθ-1=-2．
n=z1•z2=1+sin2θ=
7
4
．
（2）|z1•
.
z2
|=|（2cosθ+isinθ）（1+isinθ）|
=|（2cosθ+isinθ）||（1+isinθ）|
=
(1+3cos2θ)(1+sin2θ)

=
2+2cos2θ+
3
4
sin22θ

=
3+cos2θ+
3
4
-
3
4
cos22θ

=
15
4
+cos2θ-
3
4
cos22θ

=
49
12
-
3
4
(cos2θ-
1
3
)2
∈[
2
，
7
3
6
]．
点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的基本概念，三角函数的有界性，是综合试题．
练习册系列答案
相关题目
已知复数z1=2cosα+（2sinα）i，z2=cosβ+（sinβ）i（α，β∈R），
（1）若z1+z2=
2
+i，求cos（α-β）的值；
（2）若z2对应的点P在直线x+y-
5
3
=0上，且0＜β＜π，求sinβ-cosβ的值；
已知复数z1=2cosθ+i•sinθ，z2=1-i•（
3
cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
（1）当cosθ=
3
3
时，求|z1•z2|；
（2）当θ为何值时，z1=z2．
已知复数z1=2cosθ+i•sinθ，z2=1-i•（
3
cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
（1）当cosθ=
3
3
时，求|z1•z2|；
（2）当θ为何值时，z1=z2．
已知复数z1=2cosθ+i•sinθ，z2=1-i•（cosθ），其中i是虚数单位，θ∈R．
（1）当cosθ=时，求|z1•z2|；
（2）当θ为何值时，z1=z2．

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