题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,右焦点F到右准线的距离为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点F作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C交于M, N两点,设点.
①若的面积为
,求直线l方程;
②过点M作与)轴垂直的直线l"和直线NA交于点P,求证:点P在一条定直线上.
【答案】(1);(2)①
,②见解析
【解析】
(1)由椭圆离心率的定义,右焦点与右准线的距离求得椭圆方程;
(2)用设而不求的求直线方程,用三角形面积得直线方程,分类讨论可得.
解:
(1)由题意:解得:
,所以椭圆
的方程为
(2)①当直线l斜率不存在时,方程为,此时
,不合题意;
当直线斜率存在时,设方程为
.
由,消去y得:
.设
.
由题意,, 且
所以
因为,
的面积为
所以,即
,解得
,
所以直线的方程为
.
②当直线的斜率不存在时,直线NA的方程为:
.令
,得
,
所以直线与
的交点坐标
.
当直线的斜率存在时,由①知,
由直线的方程为:
令,得
所以直线与
的交点
的坐标为
,
综上所述,点在一条定直线
上,
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