题目内容

8.某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如图:

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
(Ⅰ)写出频率分布直方图(甲)中的a的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为$s_1^2$,$s_2^2$,试比较$s_1^2$与$s_2^2$的大小;(只需写出结论)
(Ⅱ)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;
(Ⅲ)设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求X的数学期望.

分析 (Ⅰ)按照题目要求想结果即可.
(Ⅱ)设事件A:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;事件B:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;事件C:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.求出P(A),P(B),P(C).
(Ⅲ)X的可能取值为0,1,2,3,求出概率,得到分布列,然后求解期望.

解答 (共13分)
解:(Ⅰ)a=0.015; …(2分)
s12>s22.…(4分)
(Ⅱ)设事件A:在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于20箱;
事件B:在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于20箱;
事件C:在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则P(A)=0.20+0.10=0.3,P(B)=0.10+0.20=0.3.…(6分)
所以 $P(C)=P(\overline A)P(B)+P(A)P(\overline B)=0.42$.…(8分)
(Ⅲ)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3.…(9分)
P(X=0)=C30×0.30×0.73=0.343,
P(X=1)=C31×0.31×0.72=0.441,
P(X=2)=C32×0.32×0.71=0.189,
P(X=3)=C33×0.33×0.70=0.027.
所以X的分布列为

X0123
P0.3430.4410.1890.027
…(11分)
所以X的数学期望EX=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.…(13分)

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法,独立重复试验概率的求法,考查计算能力.

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