题目内容
【题目】(附加题,本小题满分10分,该题计入总分)
已知函数,若在区间
内有且仅有一个
,使得
成立,则称函数
具有性质
.
(1)若,判断
是否具有性质
,说明理由;
(2)若函数具有性质
,试求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)具有性质
; (Ⅱ)
或
或
【解析】
试题(Ⅰ)具有性质
.若存在
,使得
,解方程求出方程的根,即可证得;(Ⅱ)依题意,若函数
具有性质
,即方程
在
上有且只有一个实根.设
,即
在
上有且只有一个零点.讨论
的取值范围,结合零点存在定理,即可得到
的范围.
试题解析:(Ⅰ)具有性质
.
依题意,若存在
,使
,则
时有
,即
,
,
.由于
,所以
.又因为区间
内有且仅有一个
,使
成立,所以
具有性质
5分
(Ⅱ)依题意,若函数具有性质
,即方程
在
上有且只有一个实根.
设,即
在
上有且只有一个零点.
解法一:
(1)当时,即
时,可得
在
上为增函数,
只需解得
交集得
.
(2)当时,即
时,若使函数
在
上有且只有一个零点,需考虑以下3种情况:
(ⅰ)时,
在
上有且只有一个零点,符合题意.
(ⅱ)当即
时,需
解得
交集得
.
(ⅲ)当时,即
时,需
解得
交集得
.
(3)当时,即
时,可得
在
上为减函数
只需解得
交集得
.
综上所述,若函数具有性质
,实数
的取值范围是
或
或
14分
解法二:
依题意,
(1)由得,
,解得
或
.
同时需要考虑以下三种情况:
(2)由解得
.
(3)由解得
不等式组无解.
(4)由解得
解得
.
综上所述,若函数具有性质
,实数
的取值范围是
或
或14分.
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