Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C．给出下列四个函数：（1）y=x²，（2）y=sinx，（3）y=lgx，（4）y=3^x，则均值为2的函数为________．

Answer 1

解：对于函数y=x²，取任意的x₁∈R，=2，
，有两个的x₂∈D．故不满足唯一存在的条件．
对于函数y=sinx，明显不成立，正弦函数的值域是[-1，1]，故不满足条件；
对于函数y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使 成立．故成立．
对于函数y=3^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=27．
要使 成立，则f（x₂）=-23，不成立．
综上可知只有（3）正确，
故答案为：（3）
分析：对于函数y=x²，可直接取任意的x₁∈R，验证求出两个的 ，即可得到成立．故错；对于函数②y=sinx，根据值域得到明显不成立，对于函数y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．对于函数y=3^x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
点评：本题主要考查对新定义的概念的理解，考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，本题解题的关键是充分理解各基本初等函数的定义域和值域，本题是一个中档题目．