题目内容
【题目】每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记
表示该名学生答对问题的个数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）高一年级应选取
人，高二年级应选取
人，高三年级应选取人.（2）
（3）详见解析
【解析】
（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；
（2）利用计算原理求得基本事件的总数为
，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；
（3）随机变量
的所有可能取值为
，利用超几何分计算
（
），最后求得期望值.
（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为
，由于采用分层抽样方法从中选取
人，因此，高一年级应选取人，高二年级应选取人，高三年级应选取人.
（2）由（1）知，被选取的名学生高一、高二、高三年级分别有人、人、人，所以，从这名学生任选名，且名学生分别来自三个年级的概率为
.
（3）由题意知，随机变量的所有可能取值为，
且服从超几何分布，（）.
所以，随机变量的分布列为
| 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
所以，随机变量的数学期望为
.
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