Question

19．当无理数x=3$±\sqrt{2}$-1时，代数式$\frac{{x}^{2}-2x+4}{{x}^{2}-3x+3}$的值是整数．

Answer 1

分析 代数式$\frac{{x}^{2}-2x+4}{{x}^{2}-3x+3}$变形为1+$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=1+$\frac{1}{x+1+\frac{7}{x+1}-5}$，根据其值是整数，可得x+1+$\frac{7}{x+1}$=4或6，分别解出即可．

解答 解：∵代数式$\frac{{x}^{2}-2x+4}{{x}^{2}-3x+3}$=$\frac{{x}^{2}-3x+3+x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=1+$\frac{x+1}{{x}^{2}-3x+3}$=1+$\frac{1}{x+1+\frac{7}{x+1}-5}$的值是整数，
∴x+1+$\frac{7}{x+1}$=4或6，
由x+1+$\frac{7}{x+1}$=6，解得：x=3$±\sqrt{2}$-1．
由x+1+$\frac{7}{x+1}$=4，无解．
综上可得：当x=3$±\sqrt{2}$-1时，代数式$\frac{{x}^{2}-2x+4}{{x}^{2}-3x+3}$的值是整数．
故答案为：3$±\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了代数式的变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．