题目内容
【题目】如图,菱形与等边
所在平面互相垂直,
,
,
分别是线段
,
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)如图,取线段的中点
,连接
,根据题意证明四边形
为平行四边形,然后根据线面平行的判定定理进行判定即可;
(Ⅱ)如图,在等边中,取线段
中点
,连接
,以
所在直线为
轴,过点
作
的平行线为
轴,
所在直线为
轴建立如图坐标系.然后分别找到平面
和平面
的一个法向量,根据法向量求二面角的余弦值即可.
(Ⅰ)如图,取线段的中点
,连接
,
是线段
的中点,
则且
.
在菱形中
为线段
中点,则
且
,
则且
,故四边形
为平行四边形,
所以.
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(Ⅱ)如图,在等边中,取线段
中点
,连接
,则
,
因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,
以所在直线为
轴,过点
作
的平行线为
轴,
所在直线为
轴建立如图坐标系.
设,则
,
,
,
所以,
,
设平面的法向量为
,则
,
令,得平面
的一个法向量为
,
由题知平面的一个法向量为
,
,
所以二面的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目