Question

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°∠EAC=60°，AB=AC=AE=2．
（Ⅰ）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意及图形取AB的中点F，AC的中点M，得到四边形EMCD为矩形，利用线面平行的判定定理证得线面平行；
（Ⅱ）由题意利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后在三角形中解出即可；
（Ⅲ）三棱锥C-BDE的体积三棱锥B-CDE的体积，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：
取AB的中点F连接DP、PF、EF，则FP∥AC，FP=

1

2

AC，
取AC的中点M，连接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC．
∴四边形EMCD为矩形，∴ED=MC=

1

2

AC．
又∵ED∥AC，∴ED∥FP且ED=FP，
∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF，
∵EF?平面EAB，DP?平面EAB，
∴DP∥平面EAB；
（Ⅱ）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG，
∵ED∥AC，∴ED∥l，l是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，
∴∠DGC是所求二面角的平面角．
设AB=AC=AE=2a，则CD=

3

a，GC=2a，
∴GD=

GC2+CD2

=

7

a，
∴cosθ=cos∠DGC=

GC

GD

=

2 7

7

；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，ED=1，DC=

3

，∴S_△CDE=

1

2

×1×

3

=

3

2

∵直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°
∴AB⊥平面ACDE
∴三棱锥C-BDE的体积等于三棱锥B-CDE的体积等于

1

3

×

3

2

×2=

3

3

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，考查三棱锥体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．