题目内容

 

(本小题满分13分)

       已知是二次函数,不等式的解集是(0,5),且在区间[-1,4]上的最大值是12。

   (1)求的解析式;

   (2)是否存在自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由。

 

【答案】

【解析】解:(1)是二次函数,且的解集是(0,5)

       可设

       在区间[-1,4]上的最大值是                    …………3分

       由已知,得……6分

   (2)方程等价于方程

       设,则…………8分

       当是减函数;

       当时,是增函数。                      …………10分

      

       方程在区间内分别有惟一实数根,而在区间(0,3),

(4,+∞)内没有实数根,所以存在惟一的自然数,使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根。…………13分

 

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