Question

2．求y=$\frac{{x}^{2}+1}{{{x}^{2}}_{\;}-1}$的值域．

Answer 1

分析 把原函数解析式变形，换元后画出图形，数形结合得答案．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}+1}{{{x}^{2}}_{\;}-1}$=$\frac{{x}^{2}-1+2}{{x}^{2}-1}=\frac{2}{{x}^{2}-1}+1$，
令t=x²-1（t≥-1且t≠0），
则$y=\frac{2}{t}+1$（t≥-1且t≠0），
作出函数图象如图：

由图可知：原函数的值域为（-∞，-1]∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数的值域及其求法，考查了换元法及数形结合的解题思想方法，是基础题．