题目内容
12.如图所示,在三棱锥D-ABC中,DA⊥AC,DA⊥BC,AC=BC=1,AB=$\sqrt{3}$,AD=$\sqrt{2}$,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.分析 求异面角,先要找到异面角,可以分别过A,C作BC,AB的平行线,设交于E点,这样便找到了∠DCE或其补角为所求异面角,根据条件可说明DA⊥平面ABCE,从而可得到DA⊥AE.这样根据已知的边的长度及垂直关系可分别求出AE,DE,CE,CD,在△CDE中,根据余弦定理即可求出cos∠DCE,这样便求出异面直线AB与CD所成角的余弦值.
解答 解:如图,过A作BC的平行线,过C作AB的平行线,两平行线交于E点,并连接DE,则:
AB∥CE;
∴∠DCE或其补角便为异面直线AB,CD所成角;
DA⊥AC,DA⊥BC,AC∩BC=C;
∴DA⊥平面ABCE,AE?平面ABCE;
∴DA⊥AE,$AD=\sqrt{2},AE=BC=1$;
∴$DE=\sqrt{3}$;
在Rt△ACD中,$CD=\sqrt{3}$,EC=$\sqrt{3}$;
∴在△CDE中,由余弦定理得:cos∠DCE=$\frac{3+5-3}{2\sqrt{3}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$;
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{6}$.
点评 考查异面直线所成角的定义,及求法,线面垂直的判定定理,线面垂直的性质,直角三角形边的关系,以及余弦定理的应用.
练习册系列答案
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