题目内容

【题目】已知向量 =(cos x,sin x), =(cos x,﹣sin x),且x∈[0, ].求:
(1)
(2)若f(x)= ﹣2λ 的最小值是﹣ ,求λ的值.

【答案】
(1)解: =cos2x

=

∵x∈[0, ],∴cosx>0,∴ =2cosx.


(2)解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,设t=cosx,

则∵ ,∴t∈[0,1]

即y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2

①λ<0时,当且仅当t=0时,y取最小值﹣1,这与已知矛盾

②当0≤λ≤1时,当且仅当t=λ时,y取得最小值﹣1﹣2λ2

由已知得 ,解得λ=

③当λ>1时,当且仅当t=1时,y取得最小值1﹣4λ.

由已知得 ,解得λ= ,这与λ>1相矛盾.

综上λ= 为所求.


【解析】(1)利用向量的数量积公式,结合差角的三角函数,角的范围,即可得出结论;(2)f(x)=cos2x﹣4λcosx=2cos2x﹣1﹣4λcosx,设t=cosx,可得y=f(x)=2t2﹣4λt﹣1=2(t﹣λ)2﹣1﹣2λ2 , 分类讨论,利用最小值是﹣ ,即可求λ的值.

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