题目内容
【题目】已知圆,线段
、
都是圆
的弦,且
与
垂直且相交于坐标原点
,如图所示,设△
的面积为
,设△
的面积为
.
(1)设点的横坐标为
,用
表示
;
(2)求证:为定值;
(3)用、
、
、
表示出
,试研究
是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线
的方程;若没有最小值,请说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)有,
,
或
.
【解析】
(1)利用距离公式,即可用表示
;
(2)分类讨论,计算,即可证明
为定值;
(3)由(2)得,同理
,利用基本不等式,即可得出结论.
(1)解:设,
,代入圆
,得
,
;
(2)证明:设,
,
同理可得,
,设直线
的方程为
,代入圆的方程得
,
,
,
代入可得,
,直线过原点,直线
的方程为
,即
,代入可得
,
综上所述,为定值;
(3)解:由(2)得,同理
,当且仅当
时取等号,
此时,最小值为3,直线
的方程为
.

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