Question

若定义在R上的减函数y=f（x），对于任意x，y∈R，不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0都成立，且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则当 1≤x≤4时，

y

x

的取值范围是（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，1）
• B．[-

  1

  4

  ，1]
• C．（-

  1

  2

  ，1]
• D．[-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可知函数是奇函数，再利用在R上的减函数，转化为具体的不等式，故可解．

解答：解：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可知函数是奇函数，所以由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0得f（x²-2x）≤f（-2y+y²），∵在R上的减函数y=f（x），∴x²-2x≥-2y+y²，∴x≥y或x+y≤2，∵1≤x≤4，∴-

1

2

≤

y

x

≤1，故选D．

点评：本题主要考查函数的单调性与奇偶性，利用函数为奇函数将不等式等价变形，利用单调性，转化为具体的不等式，要注意细细体会