Question

对于函数f（x），在使f（x）≤M恒成立的所有常数M中，我们把M中的最小值称为函数f（x）的“上确界”．已知函数f（x）=

x2+2x+1

x2+1

+a（x∈[-2，2]）是奇函数，则f（x）的上确界为（　　）

• A、2
• B、

  9

  5

• C、1
• D、

  4

  5

Answer 1

分析：首先根据函数是奇函数求出a=-1，然后将函数化成f（x）=

2

x+ 1 x

，再根据均值不等式求出函数的最小值，即可得出答案．

解答：解：∵函数f（x）=

x2+2x+1

x2+1

+a（x∈[-2，2]）是奇函数
∴f（0）=0
∴a=-1
f（x）=

x2+2x+1

x2+1

-1=

2

x+ 1 x

∵x+

1

x

≥2
∴f（x）=

x2+2x+1

x2+1

-1=

2

x+ 1 x

≤1
∴f（x）的上确界为1
故选C．

点评：本题考查了函数的最值以及奇函数的特点，解题的关键是根据奇函数求出a的值，属于中档题．