题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),f′(x)是f(x)的导函数,且f′(0)=2n,(n∈N*).
(1)求a的值;
(2)若数列{an}满足
=f′(
),且a1=4,求数列{an}的通项公式;
(3)对于(II)中的数列{an},求证:a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…).
(1)求a的值;
(2)若数列{an}满足
1 |
an+1 |
1 |
an |
(3)对于(II)中的数列{an},求证:a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…).
(1)由已知,可得f'(x)=2ax+b,
∴
解之得a=
.
(2)∵
=
+2n,
∴
-
=2n.
由
-
=2×1
-
=2×2
-
=2×3
-
=2(n-1),
累加得
-
=n2-n(n=2,3).
∴an=
=
(n=2,3).
当n=1 时,
=4=a1
∴an=
(n=1,2,3).
(3)当k=1时,由已知a1=4<5显然成立;
当k≥2时,ak=
<
=
-
(k≥2)
则a1+a2+a3+…+ak<4+[(1-
) +(
-
)+… +(
-
)]=5-
<5
综上,a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3)成立.
∴
|
解之得a=
1 |
2 |
(2)∵
1 | ||
|
1 | ||
|
∴
1 | ||
|
1 | ||
|
由
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
1 |
a3 |
1 | ||
|
1 | ||
|
累加得
1 | ||
|
1 |
4 |
∴an=
1 | ||
n(n-1)+
|
4 |
(2n-1)2 |
当n=1 时,
4 |
(2n-1)2 |
∴an=
4 |
(2n-1)2 |
(3)当k=1时,由已知a1=4<5显然成立;
当k≥2时,ak=
1 | ||
k(k-1)+
|
1 |
k(k-1) |
1 |
k-1 |
1 |
k |
则a1+a2+a3+…+ak<4+[(1-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
k-1 |
1 |
k |
1 |
k |
综上,a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3)成立.
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