题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象过点(-4n,0),f′(x)是f(x)的导函数,且f′(0)=2n,(n∈N*).
(1)求a的值;
(2)若数列{an}满足
1
an+1
=f′(
1
an
)
,且a1=4,求数列{an}的通项公式;
(3)对于(II)中的数列{an},求证:a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…).
(1)由已知,可得f'(x)=2ax+b,
b=2n
16n2a-4nb=0.

解之得a=
1
2

(2)∵
1
a n+1
=
1
a n
+2n

1
a n+1
-
1
a n
=2n

1
a 2
-
1
a 1
=2×1
1
a 3
-
1
a 2
=2×2
1
a 4
-
1
a3
=2×3
1
a n
-
1
a n-1
=2(n-1)

累加得
1
a n
-
1
4
=n2-n
(n=2,3).
an=
1
n(n-1)+
1
4
=
4
(2n-1)2
(n=2,3).
n=1 时,
4
(2n-1)2
=4=a1

an=
4
(2n-1)2
(n=1,2,3).
(3)当k=1时,由已知a1=4<5显然成立;
当k≥2时,ak=
1
k(k-1)+
1
4
1
k(k-1)
=
1
k-1
-
1
k
(k≥2)
则a1+a2+a3+…+ak<4+[(1-
1
2
) +( 
1
2
-
1
3
)+… +(
1
k-1
-
1
k
)
]=5-
1
k
<5
综上,a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3)成立.
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