题目内容
【题目】已知直线过点
和椭圆
:
的焦点且方向向量为
,且椭圆
的中心关于直线
的对称点在直线
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在过点的直线
交椭圆
于点
、
,且满足
(
为原点)?若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);
(2)
【解析】
(1)根据椭圆的中心关于直线
的对称点在直线
上得到:
,焦点坐标为
,联立即得解;
(2)转化为:
,得到
,设直线m,与椭圆联立,表示
,即可求解得到直线m的方程.
(1)直线,过原点垂直于l的直线方程为:
联立解得:
因为椭圆的中心关于直线
的对称点在直线
上,
又直线l过椭圆的焦点,因此焦点坐标为,
因此椭圆的方程为:
(2)设,当直线不垂直于x轴时,直线m的方程为:
,直线与椭圆
联立整理得:
当直线m垂直于x轴时,也满足,
故m得方程为:
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