Question

11．已知x＞1，0＜y＜1，求log_xy+log_yx的取值范围．

Answer 1

分析 由对数函数性质换元可得t=log_xy＜0，log_xy+log_yx=t+$\frac{1}{t}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞1，0＜y＜1，∴t=log_xy＜0，
∴log_xy+log_yx=t+$\frac{1}{t}$=-（-t+$\frac{1}{-t}$）≤-2$\sqrt{-t•\frac{1}{-t}}$=-2，
当且仅当-t=$\frac{1}{-t}$即t=log_xy=-1，即xy=1时取等号，
∴所求范围为：（-∞，-2]

点评 本题考查基本不等式求式子的取值范围，涉及换元法和对数函数，属基础题．