题目内容

四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,PA=AB=BC=2,E为PA中点,过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F,G,H,已知底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,∠BCD=135°
(1)求异面直线AF,BG所成的角的大小;
(2)设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ,求cosθ.
分析:由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz,求出图中各点坐标
(1)求出异面直线AF,BG的方向向量,根据两个向量的数量积为0,两个向量垂直,易得异面直线AF,BG所成的角的大小为
π
2

(2)求出平面APB的法向量为
n
和设平面CPD的法向量为
m
,代入向量夹角公式cos<
m
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
,可得面APB与面CPD所成的锐二面角的大小.
解答:解:由题意可知,AP、AD、AB两两垂直,可建立空间直角坐标系A-xyz,由平面几何知识知:
AD=4,D(0,4,0),B(2,0,0),
C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),
F(1,0,1),G(1,1,1)…(2分)
(1)
AF
=(1,0,1),
BG
=(-1,1,1)

AF
BG
=0

AF与BG所成的角为
π
2
.…(4分)
(2)∵AD⊥平面APB,
∴平面APB的法向量为
n
=(0,1,0)
设平面CPD的法向量为
m
=(1,y,z)

m
CD
=0
m
PD
=0
y=1
z=2

m
=(1,1,2).…(10分)
cos<
m
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
6
6

即cosθ=
6
6
…(12分)
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,其中建立空间坐标系,将空间线线夹角及二面角问题转化为空间向量夹角问题,是解答本题的关键.
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