Question

4．已知a₁=3，a_n+1=$\frac{6{a}_{n}}{3-4{{a}_{n}}^{2}}$，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 令${a}_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}tanθ$，代入a_n+1=$\frac{6{a}_{n}}{3-4{{a}_{n}}^{2}}$化简，可得${a}_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}tan2θ$，再令a₁=3=$\frac{\sqrt{3}}{2}tanα$，求得$α=arctan2\sqrt{3}$，可得a_n+1，则a_n的通项公式可求．

解答 解：令${a}_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}tanθ$，则
${a}_{n+1}=\frac{6{a}_{n}}{3-4{{a}_{n}}^{2}}=\frac{3\sqrt{3}tanθ}{3-3ta{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}tan2θ$，
令a₁=3=$\frac{\sqrt{3}}{2}tanα$，$α=arctan2\sqrt{3}$，
∴${a}_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{2}tan{2}^{n-1}α$=$\frac{\sqrt{3}}{2}tan（{2}^{n-1}arctan2\sqrt{3}）$．
∴${a}_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}tan（{2}^{n-2}arctan2\sqrt{3}）$．

点评 本题考查数列的通项公式，考查了换元法，该题思路奇特，难度较大．