Question

9．设a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$，b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 通过a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$可知log₃a_n=-n，进而可知b_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，裂项可知$\frac{1}{{b}_{n}}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴log₃a_n=log₃$\frac{1}{{3}^{n}}$=-n，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=-1-2-…-n
=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$=-2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴所求值为-2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=-2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{-2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．