题目内容

在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且
a+c
a+b
=
b-a
c

(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若△ABC最大边的边长为
7
,且sinC=2sinA,求最小边长.
分析:(Ⅰ)把题设中的等式整理得即ac+c2=b2-a2,进而代入余弦定理求得cosB的值,进而求得B.
(Ⅱ)根据B为钝角可推断出b为最长边,根据sinC=2sinA,利用正弦定理可知c=2a,进而推断a为最小边,进而利用余弦定理求得a.
解答:解:(Ⅰ)由
a+c
a+b
=
b-a
c

整理得(a+c)c=(b-a)(a+b),
即ac+c2=b2-a2
cosB=
a2+c2-b2
2ac
=-
ac
2ac
=-
1
2

∵0<B<π,∴B=
3

(Ⅱ)∵B=
3
,∴最长边为b,
∵sinC=2sinA,∴c=2a,
∴a为最小边,由余弦定理得
7
2
=a2+4a2-2a•2a•(-
1
2
)
,解得a2=1,
∴a=1,即最小边长为1
点评:本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理和余弦定理及其变形公式是解三角形问题中常用的公式,故应熟练记忆.
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