题目内容
已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为
,设点
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若
是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
（3）过原点
的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值。
（1）
（2）
（3）
解析试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=
,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由
得
又点P在椭圆上,得
,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(
,
),C(－,－),
则
,又点A到直线BC的距离d=
,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由
≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－
时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是
考点：椭圆方程几何性质，直线与椭圆相交问题及轨迹方程
点评：第二问中求轨迹方程用到的是相关点法，即设出所求点坐标，转化到已知条件中的点然后代入已知椭圆方程；第三问需注意讨论直线斜率存在不存在两种情况，其中求最值用到了均值不等式
，此题有一定的难度
练习册系列答案
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+
=1有公共的焦点，且与椭圆相交，它们的交点中一个交点的纵坐标是4，求双曲线的标准方程。
的离心率为
，
是椭圆的左右顶点，
是椭圆的上下顶点，四边形
的面积为
.
的方程；
过
两点．当圆心
的距离最小时，求圆
的右焦点F，抛物线：
的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（1）椭圆C的方程；（2）直线l交y轴于点M，且
，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（3）接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点
．
，一个焦点的坐标为(1,0)．
，
，求证：
为定值．
＝λ
.
； 
，
为
上任意一点；
，求
的最小值.
相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，
，求点M的轨迹C；