题目内容

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

（1）（2）（3）

解析试题分析：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由      得
又点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是
考点：椭圆方程几何性质，直线与椭圆相交问题及轨迹方程
点评：第二问中求轨迹方程用到的是相关点法，即设出所求点坐标，转化到已知条件中的点然后代入已知椭圆方程；第三问需注意讨论直线斜率存在不存在两种情况，其中求最值用到了均值不等式，此题有一定的难度

练习册系列答案
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设双曲线与椭圆+=1有公共的焦点，且与椭圆相交，它们的交点中一个交点的纵坐标是4，求双曲线的标准方程。

己知椭圆的离心率为，是椭圆的左右顶点，是椭圆的上下顶点，四边形的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆过两点．当圆心与原点的距离最小时，求圆的方程．

已知椭圆的两焦点是F1(0，-1)，F2(0,1)，离心率e=
(1)求椭圆方程；(2)若P在椭圆上，且|PF1|-|PF2|=1，求cos∠F1PF2。

如图，已知直线l：x=my+1过椭圆的右焦点F，抛物线：的焦点为椭圆C的上顶点，且直线l交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线g：x=4上的射影依次为点D、K、E．（1）椭圆C的方程；（2）直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探求λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值，否则，说明理由；（3）接AE、BD，试证明当m变化时，直线AE与BD相交于定点．

已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．

已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.
(1)求证：；
(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.
(ⅰ)求证：点N在一条定直线上；    
(ⅱ)设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

已知双曲线，为上任意一点；
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点，求的最小值.

（本小题共12分）
如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，
定点B的坐标为（2，0）.

（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（2）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

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