题目内容

正四面体A-BCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得 $数学公式$ ，设f（λ）=α_λ+β_λ，α_λ与β_λ分别表示EF与AC，BD所成的角，则

A.
f（λ）是（0，+∞）上的增函数
B.
f（λ）是（0，+∞）上的减函数
C.
f（λ）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减
D.
f（λ）是（0，+∞）上的常数函数

D
分析：先证明正四面体的对棱AC与BD垂直，此结论由线面垂直得来，再由异面直线所成的角的定义，在同一平面内找到α_λ与β_λ，最后在三角形中发现f（λ）=α_λ+β_λ= $\text{[math]}$ ，从而做出正确选择
解答：如图，取线段BC上一点H，使 $\text{[math]}$ ，

取BD中点O，连接AO，CO
∵正四面体A-BCD中每个面均为正三角形，∴BD⊥AO，BD⊥CO，∵AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC?平面AOC∴BD⊥AC
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴EH∥AC，∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴HF∥BD
∴∠HEF就是异面直线EF与AC所成的角，∠HFE就是异面直线EF与BD所成的角，∴∠EHF就是异面直线BD与AC所成的角，
∴α_λ=∠HEF，β_λ=∠HFE，∠EHF=90°
∴f（λ）=α_λ+β_λ= $\text{[math]}$ ，即f（λ）是（0，+∞）上的常数函数
故选D
点评：本题考察了异面直线所成的角的作法和算法，正四面体的性质，解题时要认真体会将空间问题转化为平面问题的过程