Question

【题目】已知椭圆经过点，离心率为，动点M（2，t）（）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且截直线所得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据题意将点的坐标代入椭圆方程中得到，同时联立即可得到的值，即椭圆的方程；（2）根据题意所求圆心为的中点，半径为

，利用圆心到直线的距离为，得到关于的方程，得到所求圆的方程；（3）根据题意过点作的垂线，垂足设为及平面几何知识得到： ，设直线的方程为： 与的直线方程联立求得，进而求得得到的长为定值.

试题解析：（1）由题意得，又由椭圆经过点P，得，又联立解得，所以椭圆的方程为；

（2）以为直径的圆的圆心为，半径，所以圆M的方程为。依题意，解得所以所求圆的方程为；

（3）过点作的垂线，垂足设为,由平面几何知识知，直线的方程为，则直线的方程为由，得，故

，所以线段的长为定值.