题目内容
【题目】定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆与椭圆
是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点,椭圆
的长轴长是4,椭圆
长轴长是2,点
,
分别是椭圆
的左焦点与右焦点.
(1)求椭圆,
的方程;
(2)过的直线交椭圆
于点
,
,求
面积的最大值.
【答案】(1)椭圆的方程为
,椭圆
的方程是
(2)
【解析】
(1)设椭圆的半焦距为
,椭圆
的半焦距为
,直接利用椭圆的定义得到答案.
(2)设直线的方程为,联立方程得到
,
,
,
利用均值不等式得到答案.
解:(1)设椭圆的半焦距为
,椭圆
的半焦距为
,由已知
,
=1,
∵椭圆与椭圆
的离心率相等,即
,
∴,即
,
∴,即
,∴
,
∴椭圆的方程为
,椭圆
的方程是
;
(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为.
联立:,得
,即
,
∴,设
,
,
则,
,∴
,
的高即为点
到直线
:
的距离
,
∴的面积
,
∵,等号成立当且仅当
,即
时成立
∴,即
的面积的最大值为
.
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