Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆：，点，过点的直线交圆于、两点.

（1）试判断直线：与圆的位置关系；

（2）设弦的中点为，求的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）直线与圆相交；（2）.

【解析】

（1）由直线：可知过定点，求圆心到的距离，与半径2比较，通过判断点和圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系；

（2）分类讨论，当点与点不重合时，利用圆的性质得出，运用向量垂直的坐标运算，即可得出的轨迹方程；当点与点重合，即，时，也满足上式；综合得出轨迹方程.

（1）由圆的方程可知，圆心，半径为2，

因为直线过定点，且，

所以点在圆内，故直线：与圆相交.

（2）由圆的性质知：当点与点不重合时，

则，∴，

设，则，，

则.

当点与点重合，即，时，也满足上式.

∴点的轨迹方程为.