题目内容
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=a（a∈R），an+1= 
，n∈N*；
（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a=5，求S2016；
（3）若a= 
（m∈N*），求S4m+2的值．
【答案】
（1）解：当an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]，
当an∈（3，6]时，则an+1=an﹣3∈（0，3]，
故an+1∈（0，6]，
所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6
（2）解：a1=a=5时，a2=a1﹣3=2，a3=2a2=4，a4=a3﹣3=1，a5=2a4=2，a6=2a5=4，a7=a6﹣3=1，
∴数列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，
∴从2项起，以3为周期的数列，其和为2+4+1=7，
∴S2016=5+7×671+2+4=4708
（3）解：由m∈N*，可得2m﹣1≥1，故a= 
≤3，
当1＜k≤m时，2k﹣1a≤ 
= 
＜ =3．
故ak=2k﹣1a且am+1=2ma．又am+1= 
＞3，
所以am+2=am+1﹣3=2ma﹣3=2m ﹣3=a．
故S4m+2=S4（m+1）﹣a4m+3﹣a4m+4=4（a1+a2+…+am+1）﹣（2m﹣1+2m）a
=4（1+2+…+2m）a﹣3×2m﹣1a=4（2m+1﹣1）a﹣3×2m﹣1a
=（2m+3﹣3﹣3×2m﹣1）a= 
【解析】（1）分当an∈（0，3]时和当an∈（3，6]时，分别求出an+1的范围，得到要证的不等式．（2）根据递推公式得到，数列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，从2项起，以3为周期的数列，即可求出答案．（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
