Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且a1=a（a∈R），an+1= ，n∈N*；
（1）若0＜an≤6，求证：0＜an+1≤6；
（2）若a=5，求S2016；
（3）若a= （m∈N*），求S4m+2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当an∈（0，3]时，则an+1=2an∈（0，6]，

当an∈（3，6]时，则an+1=an﹣3∈（0，3]，

故an+1∈（0，6]，

所以当0＜an≤6时，总有0＜an+1≤6

（2）解：a1=a=5时，a2=a1﹣3=2，a3=2a2=4，a4=a3﹣3=1，a5=2a4=2，a6=2a5=4，a7=a6﹣3=1，

∴数列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，

∴从2项起，以3为周期的数列，其和为2+4+1=7，

∴S2016=5+7×671+2+4=4708

（3）解：由m∈N*，可得2m﹣1≥1，故a= ≤3，

当1＜k≤m时，2k﹣1a≤ = ＜ =3．

故ak=2k﹣1a且am+1=2ma．又am+1= ＞3，

所以am+2=am+1﹣3=2ma﹣3=2m ﹣3=a．

故S4m+2=S4（m+1）﹣a4m+3﹣a4m+4=4（a1+a2+…+am+1）﹣（2m﹣1+2m）a

=4（1+2+…+2m）a﹣3×2m﹣1a=4（2m+1﹣1）a﹣3×2m﹣1a

=（2m+3﹣3﹣3×2m﹣1）a=

【解析】（1）分当an∈（0，3]时和当an∈（3，6]时，分别求出an+1的范围，得到要证的不等式．（2）根据递推公式得到，数列{an}5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，从2项起，以3为周期的数列，即可求出答案．（3）通过解不等式判断出项的取值范围，从而判断出项之间的关系，选择合适的求和方法求出和．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．