Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴的正半轴，且焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若M（2，2）满足

AM

=

MB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），易求抛物线方程为y²=4x，由

AM

=

MB

知M为线段AB的中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程

y-2=k(x-2) y2=4x

，可得k²x²+[4k（1-k）-4]x+4（1-k）²=0，利用韦达定理列关系式可求得k．

解答：解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），则p=2，抛物线方程为y²=4x．
由

AM

=

MB

知M为线段AB的中点．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当直线斜率不存在时不满足题意．
∴设直线l的方程为：y-2=k（x-2），
联立

y-2=k(x-2) y2=4x

消y得k²x²+[4k（1-k）-4]x+4（1-k）²=0，
则

x1+x2

2

=

4k2-4k+4

2k2

=2，
解得k=1，
∴直线l的方程为：x-y=0．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查方程思想与运算能力，属于中档题．