题目内容

函数f(x)=
b|x|-a
(a>0,b>0)
的图象形如汉字“囧”,故称其为“囧函数”.下列命题正确的是
③⑤
③⑤

①“囧函数”的值域为R;                ②“囧函数”在(0,+∞)上单调递增;
③“囧函数”的图象关于y轴对称;        ④“囧函数”有两个零点;
⑤“囧函数”的图象与直线y=kx+b(k≠0)的图象至少有一个交点.
分析:先判断函数为偶函数,再令a=b=1,得到特殊的函数,利用特殊值法,研究函数的值域,单调性,和零点问题,利用数形结合的方法进行判断;
解答:解:(1)由题意f(x)=
b
|x|-a
(a>0,b>0)
,f(-x)=f(x),是偶函数;
当a=b=1,时
则f(x)=
1
|x|-1
,其函数的图象如图:
其函数的图象如图:,其函数的图象如图:
如图y≠0,值域肯定不为R,故①错误;
如图显然f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,故②错误;
f(x)是偶函数,关于y轴对称,故③正确;
如图f(x)≠0,没有零点,故④错误;
如图可知函数f(x)的图象,x=1换为x=a,在四个象限都有图象,
此时与直线y=kx+b(k≠0)的图象至少有一个交点.故⑤正确;
故答案为:③⑤;
点评:此题考查“囧函数”的新定义,关键要读懂题意,只要画出其图象就很容易求解了,解题过程中用到了数形结合的方法,是一道好题;
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