题目内容
探究函数f（x）=x+
，x∈（0，+∞）的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中值y随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）上递减；
函数f（x）=x+
（x＞0）在区间
当x=
证明：函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
思考：（直接回答结果，不需证明）
（1）函数f（x）=x+
（x＜0）有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，以及取相应最值时x的值．
（2）函数f（x）=ax+
，（a＜0，b＜0）在区间
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（2，0）
（2，0）
上递增．当x=
2
2
时，y最小=4
4
．证明：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
思考：（直接回答结果，不需证明）
（1）函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
（2）函数f（x）=ax+
| b |
| x |
[-
，0）
|
[-
，0）
和
|
（0，
]
|
（0，
]
上单调递增．
|
分析：根据表格给出的数据，通过考查x增大时，y的变化写出问题中的空格答案．并采用证明单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论证明函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
（1）根据奇函数图象对称性，得出f（x）=x+
（x＜0）有最值，当x=-2时，ymax=-4，（2）由特殊到一般的推理过程，得出f（x）=ax+
，（a＜0，b＜0）在区间 ）[-
，0）和（0，
]上单调递增．
| 4 |
| x |
（1）根据奇函数图象对称性，得出f（x）=x+
| 4 |
| x |
| b |
| x |
|
|
解答：解：（1）函数f（x）=x+
（x＞0）在区间 （2，+∞）上递增．（2分）
当x=2 时，y最小=4．（4分）
下面证明：函数f（x）=x+
（x＞0）在区间（0，2）递减．
证明：设x1，x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2．…（5分）
f（x1）-f（x2）=x1+
-（x2+
）=x1-x2+
-
=（x1-x2）（1-
）=
．（7分）
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（0，2），
∴0＜x1x2＜4，…（8分）
∴x1x2-4＜0，f（x1）-f（x2）＞0
∴函数在（0，2）上为减函数．（9分）
答：（1）f（x）=x+
（x＜0）有最值，当x=-2时，ymax=-4．（11分）
（2）[-
，0）和（0，
]单调递增．（14分）
| 4 |
| x |
当x=2 时，y最小=4．（4分）
下面证明：函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
证明：设x1，x2是区间，（0，2）上的任意两个数，且x1＜x2．…（5分）
f（x1）-f（x2）=x1+
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1 |
| 4 |
| x2 |
| 4 |
| x1x2 |
| (x1-x2)(x1x2-4) |
| x1x2 |
∵x1＜x2，∴x1-x2＜0
又∵x1，x2∈（0，2），
∴0＜x1x2＜4，…（8分）
∴x1x2-4＜0，f（x1）-f（x2）＞0
∴函数在（0，2）上为减函数．（9分）
答：（1）f（x）=x+
| 4 |
| x |
（2）[-
|
|
点评：本题考查函数单调性的定义、证明．奇函数的性质，是单调性与奇偶性的结合，考查归纳推理、类比、论证能力．
练习册系列答案
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探究函数f(x)=x+
，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数f(x)=x+
(x＞0)在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
(x＞0)在区间 上递增；
（2）函数f(x)=x+
(x＞0)，当x= 时，y最小= ；
（3）函数f(x)=x+
(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.002 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
（1）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
（3）函数f(x)=x+
| 4 |
| x |
探究函数f（x）=x+
x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：
（1）若当x＞0时，函数f（x）=x+
时，在区间（0，2）上递减，则在 上递增；
（2）当x= 时，f（x）=x+
，x＞0的最小值为 ；
（3）试用定义证明f（x）=x+
，x＞0在区间上（0，2）递减；
（4）函数f（x）=x+
，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．
| 4 |
| x |
| x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
| y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.102 | 4.24 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
| 4 |
| x |
（2）当x=
| 4 |
| x |
（3）试用定义证明f（x）=x+
| 4 |
| x |
（4）函数f（x）=x+
| 4 |
| x |
解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．