题目内容

二次函数f(x)=ax2+bx+c图象顶点为C且过点A(0,2)、B(2,2),又△ABC的面积等于1.
(1)求满足条件的函数f(x)的解析式;
(2)当时a>0,求函数g(x)=f(x)ex-
e3
x3
的极值;
(3)正项数列{an}满足an+1=f(an),且a1=3,设Tn=a1a2a3…an,求Tn
分析:(1)先假设出函数f(x)的解析式,然后根据三角形的面积公式算出三角形的高求出点C的坐标代入可确定函数f(x)的解析式.
(2)将函数f(x)的解析式代入表示出函数g(x)的解析式,然后对函数g(x)进行求导,最后根据导函数的正负判断函数的单调性求出极值点.
(3)先通过验证数列前两项判断f(x)的解析式只能是f(x)=x2-2x+2,然后找到an+1与an的关系式an+1-1=(an-1)2,两边取对数后构成新的等比数列,进而可求出答案.
解答:解:
(1)依题意设f(x)=ax(x-2)+2,由S=
1
2
×2×h=1
(h为AB边上的高).
∴h=1,f(1)=1或3,∴a=±1
∴f(x)=x2-2x+2或f(x)=-x2+2x+2(或讨论a>0与a<0).
或依题意c=2,4a+2b+c=2,∴b=-2a,
4ac-b2
4a
=1
或3,其它同上

(2)当时a>0,f(x)=x2-2x+2,∴g(x)=(x2-2x+2)ex-
e
3
x3

∴g′(x)=x2ex-ex2=x2(ex-e),令g′(x)=0,得x=0,或x=1
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∴x=0不是极值点,x=1是极值,
∴函数g(x)的极小值为g(1)=
1
2
e,极大值不存在.

(3)对于f(x)=-x2+2x+2,由an+1=f(an)及a1=3,得a2=-1,不符合题意,舍去,
只能f(x)=x2-2x+2,
∴an+1=an2-2an+2,an+1-an=an2-3an+2=an(an-3)+2>0对an≥3恒成立,
an+1>an>…>a1=3
又an+1-1=(an-1)2
∴lg(an+1-1)=2lg(an-1),l个(a1-1)=lg2≠0
∴数列{lg(an-1)}首项为lg2,公比为2的等比数列,
∴lg(an-1)=2n-1lg(a1-1)
∴an=1+22n-1
∴a1a2a3…an=(1+2)(1+22)  …(1+22n-1
=-(1-2)(1+2)(1+22)…22n-1=22n-1

为所求.
或=(1+2)(1+22)  …(1+22n-1)=22n-1
点评:本题主要考查用待定系数法求函数解析式和函数单调性、极值与导函数的关系以及等比数列求和的问题.一些数列并不是等比或等差数列,在求和时必须通过转化变为等比或等差再求.
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