题目内容
【题目】已知点在函数
的图象上,数列
的前
项和为
,数列
的前
项和为
,且
是
与
的等差中项.
()求数列
的通项公式.
()设
,数列
满足
,
.求数列
的前
项和
.
()在(
)的条件下,设
是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数
,
,恒有
成立,且
(
为常数,
),试判断数列
是否为等差数列,并说明理由.
【答案】(1) ;(2)
;(3)见解析.
【解析】分析:(1)本题考查求数列的通项公式,用数列的前n项和求是列的通项公式,注意对于第一项的验证,又根据等比中项解决问题,这一道题目比较困难,第一问考查的内容较多.
(2)构造新数列,构造数列时按照一般的方式来整理,整理后发现结果比较简单,利用等比数列的前n项和公式求数列的和.
(3)本题证明数列是一个等差数列,应用等差数列的定义来证明,只要数列的连续两项之差是一个常数,问题得证,证明是一个常数的过程是一个数列和函数综合的过程,用到所给的函数的性质.
详解:
()依题意得
,故
.
又,即
,
所以,当时,
.
又也适合上式,
故.
()因为
,
,因此
.
由于,所以
是首项为
,公比为
的等比数列.
所以,所以
.
所以.
()方法一:
,
则.
所以.
因为已知为常数,则数列
是等差数列.
方法二:
因为成立,且
,
所以,
,
,
,
所以.
所以数列是等差数列.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目