Question

18．已知命题p：指数函数y=（2a-3）^x在R上单调递减，命题q：使函数f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在区间[-1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点的实数a，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到不等式组，解出即可，在求关于命题q中a的范围时，注意在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在a符合题意，然后将问题转化为函数零点存在性的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答，注意验证．

解答 解：关于命题p：指数函数y=（2a-3）^x在R上单调递减，
∴0＜2a-3＜1，解得：$\frac{3}{2}$＜a＜2；
关于命题q：使函数f（x）=x²+（3a-2）x+a-1在区间[-1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点的实数a，
若实数a满足条件，则只需f（-1）•f（3）≤0即可．
f（-1）•f（3）=（1-3a+2+a-1）•（9+9a-6+a-1）=4（1-a）（5a+1）≤0．所以a≤-$\frac{1}{5}$或a≥1．
检验：（1）当f（-1）=0时，a=1．所以f（x）=x²+x．令f（x）=0，即x²+x=0．得x=0或x=-1．
方程在[-1，3]上有两根，不合题意，
故a≠1．
当f（3）=0时，a=-$\frac{1}{5}$，此时f（x）=x²-$\frac{13}{5}$x-$\frac{6}{5}$．令f（x）=0，解之得x=-$\frac{2}{5}$或x=3．方程在[-1，3]上有两根，不合题意，故a≠-$\frac{1}{5}$．
综上所述：a的取值范围为a＜-$\frac{1}{5}$或a＞1；
若p或q为真，p且q为假，则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜a＜2}\\{-\frac{1}{5}≤a≤1}\end{array}\right.$，无解，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤\frac{3}{2}}\\{a＜-\frac{1}{5}或a＞1}\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{5}$）∪（1，$\frac{3}{2}$]∪[2，+∞）．

点评 此题考查了复合命题的判断，考查函数与方程的综合应用类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、零点存在性知识以及结果验证的技巧．值得同学们体会反思．