Question

【题目】已知为正整数，

（1）证明：当时，；

（2）对于，已知，求证：，；

（3）求出满足等式的所有正整数.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析(3)2,3.

【解析】

（1）直接利用数学归纳法证明即可；

（2）对于,已知,利用指数函数的性质以及放缩法即可证得

（3）利用（2）的结论,以及验证时等式是否成立，即可求出满足等式的所有正整数.

(1)证明：

当时, ；即成立，

时,用数学归纳法证明：

(ⅰ)当时,原不等式成立；

当时,左边,右边

因为所以左边右边,原不等式成立；

(ⅱ)假设当时,不等式成立,即,

则当时，

于是在不等式两边同乘以得

,

所以即当时,不等式也成立.

综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数不等式都成立.

(2)证：当时,由(1)得于是

(3)由(2)知,当时,

,

即,即当时,不存在满足等式的正整数.

故只需要讨论的情形：

当时,等式不成立；

当时,等式成立；

当时,等式成立；

当时,为偶数,而为奇数,故，等式不成立；

当时,同的情形可分析出,等式不成立.

综上，所求的只有