Question

【题目】已知定义在R上的函数y＝g（x）满足条件g（x+3）＝﹣g（x），且函数为奇函数，给出以下四个命题：

（1）函数g（x）是周期函数；

（2）函数g（x）的图象关于点对称；

（3）函数g（x）为R上的偶函数；

（4）函数g（x）为R上的单调函数．

其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

由，可得，可得函数的周期性，利用奇函数的图像的对称性及函数图像的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性和单调性，可得答案.

解：（1）由题意：，可得，

故函数是周期函数，故（1）正确；

（2）由函数为奇函数，其图像关于原点对称，函数是由向右平移个单位得到的，可得函数的图象关于点对称，故（2）正确；

（3）由（2）得函数的图象关于点对称，可得：，

由，可得，故函数为R上的偶函数，

故（3）正确；

（4）由（3）得函数为R上的偶函数，其图像关于轴对称，所以在R上不是单调函数，故（4）不正确；

故答案为：（1）（2）（3）.