题目内容

数列{an}满足是常数。

（Ⅰ）当a2=-1时，求及a3的值；

（Ⅱ）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数m,当n＞m时总有an＜0.

解：（Ⅰ）由于且a1=1，

              所以当a2=-1时，得,

              故

            　从而

　（Ⅱ）数列{an}不可能为等差数列.证明如下：

            　由a1=1，得

　　     　

            　若存在，使｛an｝为等差数列，则a3-a2=a2-a1,即

            　

            　解得=3.

              于是

　　　　　这与｛an｝为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列.

（Ⅲ）记根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；

当n≤n0-1时，bn＜0.

　　　　所以由an+1=bnan及a1=1＞0可知，若n0为偶数，则，从而当n＞n0

时an＜0；若n0为奇数，则，从而当n＞n0时an＞0.

因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数，

记no=2k(k=1,2, …)，则满足

                    

故的取值范围是4k2+2k(kN*).

练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2x+1
x+2
(x≠-2，x∈R)，数列{an}满足a1=a（a≠-2，a∈R），an+1=f（an）（n∈N*）．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=2时，记bn=
an-1
a n+1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求出通项公式an．
设数列{an}满足：a1=a，an+1=
2an
an+1
(n∈N*）．
（1）若数列{an}是无穷常数列，求a的值；
（2）当a∈（0，1）时，对数列{an}的任意相邻三项an，an+1，an+2，证明：
an
(1-
a
2
n
)2
+
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
+
a
3
n+2
(1-
a
4
n+2
)2
＜
1
(1-an+2)2
．
在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题，其中所有真命题的序号是
①④
①④
．
①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足an=(n-1)•2n-1，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=2；
③等差数列是常数列是成为比等差数列的充分必要条件；
（文）④数列{an}满足：an+1=an2+2an，a1=2，则此数列的通项为an=32n-1-1，且{an}不是比等差数列；
（理）④数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2，n∈N*)，则此数列的通项为an=
n•3n
3n-1
，且{an}不是比等差数列．
已知函数f(x)=
4x-2
x+1
(x≠-1，x∈R)，数列{an}满足 a1=a（a≠-1，a∈R），an+1=f(an)(n∈N*)．
（1）若数列{an}是常数列，求a的值；
（2）当a1=4时，记bn=
an-2
an-1
(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列，并求
lim
n→∞
an．
数列{an}满足an+1=
4an-2
an+1
，其中n∈N，首项为a0．
（Ⅰ）若数列{an}是一个无穷的常数列，试求a0的值；
（Ⅱ）若a0=4，试求满足不等式an≤
146
65
的自然数n的集合；
（Ⅲ）若存在a0，使数列{an}满足：对任意正整数n，均有an＜an+1，试求a0的取值范围．

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