Question

数列{a_n}满足an+1=

4an-2

an+1

，其中n∈N，首项为a₀．
（Ⅰ）若数列{a_n}是一个无穷的常数列，试求a₀的值；
（Ⅱ）若a₀=4，试求满足不等式an≤

146

65

的自然数n的集合；
（Ⅲ）若存在a₀，使数列{a_n}满足：对任意正整数n，均有a_n＜a_n+1，试求a₀的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知 即对于任意自然数n，均有a_n+1=a_n则得到a_n²-3a_n+2=0，解方程即得项值．
（Ⅱ）由已知，构造出  

an+1-1

an+1-2

=

3

2

an-1

an-2

，得出{

an-1

an-2

}是以首项为

3

2

，公比为

3

2

，

an-1

an-2

=(

3

2

)n+1(n∈N)，至此  an≤

146

65

易解． 
（Ⅲ）a₀ 使数列{a_n}是递增数列，转化为研究数列{a_n}的单调性，不等式恒成立问题．

解答：解：（Ⅰ）常数列即数列{a_n}的每一项均为一相同的常数
即a_n+1=a_n则得到a_n²-3a_n+2=0解得a_n=1或a_n=2即a₀=1或a₀=2
（Ⅱ）由不动点思想可得

即an+1-1= 3an-3 an+1 an+1-2= 2an-4 an+1

两式相除即得到

an+1-1

an+1-2

=

3

2

an-1

an-2

由a₀=4可得数列{

an-1

an-2

}是以首项为

3

2

，公比为

3

2

的等比数列，∴

an-1

an-2

=(

3

2

)n+1(n∈N）
令t=(

3

2

)n+1（t＞1），则a_n=

1-2t

1+t

≤

146

65

解得t≥

81

16

=(

3

2

)4，
∴n+1≥4，n≥3，自然数n的集合为{n|n≥3，n∉N} 
（Ⅲ）令a₀=λ则得到

an-1

an-2

=

λ-1

λ-2

(

3

2

)n⇒an=2+

1

λ-1 λ-2 ( 3 2 )n-1

若满足题意，即数列{a_n}是递增数列
令g（n）=

λ-1

λ-2

(

3

2

)n-1则函数g（n）应为递减函数

即g′(n)=[( 3 2 )nln 3 2 ] λ-1 λ-2 在n∈N恒小于0 由( 3 2 )nln 3 2 ＞0得不等式即为 λ-1 λ-2 ＜0 即(λ-1)(λ-2)＜0→λ∈(1，2) 综上a0∈(1，2)

点评：本题考查等比数列判定、通项公式，分数不等式、指数运算，不等式恒成立问题．考查分析解决问题、变形构造、计算等能力．