题目内容

设数列{an}满足：a1=a，an+1=
2an
an+1
(n∈N*）．
（1）若数列{an}是无穷常数列，求a的值；
（2）当a∈（0，1）时，对数列{an}的任意相邻三项an，an+1，an+2，证明：
an
(1-
a
2
n
)2
+
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
+
a
3
n+2
(1-
a
4
n+2
)2
＜
1
(1-an+2)2
．
分析：（1）由于数列{an}是无穷常数列，可得a=
2a
a+1
，解得a即可；
（2）利用已知可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．通过放缩法即可证明．
解答：（1）解：∵数列{an}是无穷常数列，∴a=
2a
a+1
，解得a=1；
（2）证明：∵a1=aa∈（0，1），∴a2=
2
a+1
×a1＞a1，另一方面a2=
2
1+
1
a
＜1，
∴0＜a1＜a2＜1．
依此类推可得：0＜a=a1＜a2＜…＜an＜1．
∴
0＜a
2
n
＜
a
2
n+2
＜1，∴1＞1-
a
2
n
＞1-
a
2
n+2
＞0，
∴
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an
(1-
a
2
n+2
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
即
an
(1-
a
2
n
)2
＜
an+2
(1-
a
2
n+2
)2
，
同理可得
a
2
n+1
(1-
a
3
n+1
)2
＜
a
2
n+2
(1-
a
3
n+2
)2
．
∴左边＜
1
(1-an+2)2
[
an+2
(1+an+2)2
+
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
+
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
]
∵
an+2
(1+an+2)2
=
an+2
1+2an+2+
a
2
n+2
＜
an+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
同理
a
2
n+2
(1+an+2+
a
2
n+2
)2
＜
a
2
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
，
a
3
n+2
(1+an+2)2(1+
a
2
n+2
)2
＜
a
3
n+2
(1+an+2)2
＜
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
．
∴左边＜
1
(1-an+2)2
an+2+
a
2
n+2
+
a
3
n+2
1+an+2+
a
2
n+2
＜
1
(1-an+2)2
•an+2＜
1
(1-an+2)2
=右边．
∴左边＜右边．
点评：利用已知得出数列的单调性和利用指数函数的单调性等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网